Асимптотический метод расчета пластин

Для прямоугольной пластины с закреплением, отличным от шарнирного опирания по противолежащим сторонам, применяют различные приближенные методы. Рассмотрим асимптотический метод.

В пластинках так же как и в балках, имеет место динамический краевой эффект, который заключается в том, что закрепление влияет на форму колебания только вблизи границы, а вдали от нее форма колебания определяется произведением синусов типа уравнения (321). Благодаря этому колебания можно представить как сумму функции типа (321) и быстро затухающих с удалением от границ функций, которые позволяют выполнить граничные условия.

Рассмотрим применение этого метода на примере заделанной по контуру прямоугольной пластины размерами

, у которой, как и ранее, размер а соответствует оси . Ограничимся расчетом симметричных относительно осей  форм колебаний. В средней части пластины (начало координат располагается в центре тяжести пластины) принимаем

 

Вблизи границ

:

где

 - быстро изменяющаяся функция, позволяющая удовлетворить условиям закрепления.

Аналогично вблизи границ

:

Таким образом, общее выражение для

 имеет вид

           (322)

В средней части пластинки функции

 и  пренебрежимо малы и поэтому первый член выражения (322) должен удовлетворять уравнению (316). Отсюда находим

Вблизи границ

 существенными являются первый и второй члены выражения (322). Учитывая, что первый член удовлетворяет уравнению (316), потребуем, чтобы и второй удовлетворял ему:

Выполняя дифференцирование, приходим к уравнению:

которое распадается на два уравнения:

Так как

, то затухающие решения имеет только первое из этих уравнений. Решение, затухающее с удалением от стороны , имеет вид

где                          

В силу симметрии вблизи стороны

:

Аналогично вблизи стороны

:

где                           

и вблизи стороны

:

Рассмотрим граничные условия при

:

При вычислении

 и  учтем, что практически вдоль всей стороны , за исключением окрестностей угловых точек, функция  равна нулю, поэтому  определяется первыми двумя слагаемыми выражения (322):

Для одновременного выполнения этих уравнений необходимо, чтобы определитель, составленный из коэффициентов при  и , равнялся нулю, что приводит к уравнению:

                             (323)

Аналогично условия при  приводят к уравнению:

                                  (324)

Так как  связаны с , то трансцендентные уравнения (323) и (324) позволяют определить значения  и , а затем вычислить  и частоты:



Рассмотрим, например, колебания квадратной пластинки с одинаковым числом узловых линий в направлениях . В этом случае   и уравнения (323) и (324) приводят к зависимости:

,

откуда



Частоты колебаний определяются формулой:



Достаточно хороший результат получается уже для низшей частоты:



Точное значение:



Как видно из вышеизложенного, при использовании асимптотического метода погрешность возникает вследствие приближенного выполнения граничных условий вблизи угловых точек.


Содержание раздела

---