Частотное уравнение и собственные формы

Развёрнутая запись граничных условий приводит к однородным уравнениям относительно постоянных C1, C2, C3, C4.

Чтобы эти постоянные не равнялись нулю, должен равняться нулю определитель, составленный из коэффициентов системы; это приводит к частотному уравнению. При этих операциях выясняются соотношения между C1, C2, C3, C4, т.е. определяются собственные формы колебаний (с точностью до постоянного множителя).

Проследим составление частотных уравнений на примерах.

Для балки с шарнирно-опёртыми концами согласно (203) имеем следующие граничные условия: X=0; X''=0 при x=0 и x=

. При помощи  (197)-(200) получим из первых двух условий: C1=C3=0. Два оставшихся условия можно записать в виде

Чтобы C2 и C4 не были равны нулю, необходимо равенство нулю определителя:

.

Таким образом, частотное уравнение имеет вид

.

Подставляя выражения T и U, получим

.

Так как

, то окончательно частотное уравнение записывается так:

.                                               (207)

Корни этого уравнения:

, (n=1,2,3,...).

Учитывая (196), получим

.                                                (208)

Перейдём к определению собственных форм. Из записанных выше однородных уравнений вытекает следующее соотношение  между постоянными C2 и C4:

.

Следовательно, (197) приобретает вид

или

Согласно (207), имеем

,                                                (209)

где

 - новая постоянная, значение которой остаётся неопределённым, пока не введены в рассмотрение начальные условия.

Содержание раздела

---