Формула Донкерлея

Так как метод Рэлея приводит к завышенному значению частоты колебаний, то весьма полезным является применение метода (формулы), дающего заниженное значение низшей частоты колебаний. Простейшей из такого рода формул является формула Донкерлея.

Рассмотрим какую-либо многомассовую систему, например балку (рис.74,а). Пусть на этом рисунке изображена точная форма собственных колебаний системы.

Рис. 74

Тогда точное значение собственной частоты системы выражается формулой

                                                      

.                                          (275)

Теперь рассмотрим ту же балку, но только с одной массой mi

(рис.74, б). В этом случае частота колебаний будет определяться по формуле

,

где dii - податливость балки при приложении силы в точке расположения массы mi .

С другой стороны, приближённое значение wi той же частоты можно определить по формуле Рэлея, считая, что форма колебаний совпадает с изображённой на рис.74,а

.                                                (276)

Здесь По и xi имеют те же значения, что и в (275).

Так как форма, изображённая на рис.74,a, не является точной формой колебаний одномассовой системы, то выполняется неравенство:

 .                                                  (277)

Сравнивая (275) и (276), находим

.                                                       (278)

Eсли в правой части полученного равенства заменить

 меньшими значениями , то равенство превратится в неравенство:

.

Таким образом, приближенная формула Донкерлея всегда дает преуменьшенное значение частоты:

.                                              (279)

Рассчитав частоту одной и той же системы по методу Рэлея и формуле Донкерлея, получим вилку, в которой заключено истинное значение частоты колебаний.

Содержание раздела

---