Колебания, перпендикулярные плоскости кольца
В этом случае положение поперечного сечения кольца в процессе движения характеризуется смещением
его центра тяжести из плоскости кольца и углом поворота сечения х4 (рис.72,а). В поперечном сечении кольца возникают изгибающие и крутящие моменты (рис.72,б), а также поперечная сила, перпендикулярная плоскости кольца.Рис. 72
Установим зависимость моментов от перемещений. Так как задача линейная, то рассмотрим сначала силовые факторы, связанные со смещением х3, а затем - с х4.
Если х3 постоянно по длине окружности, то кольцо смещается как жёсткое целое, и внутренние силы не возникнут. Если х3 изменяется в зависимости от центрального угла по линейному закону
, то ось бруса превращается в винтовую линию, т.е. брус деформируется подобно витку пружины при растяжении. Известно, что в этом случае в поперечных сечениях возникает крутящий момент ,где GJкр- крутильная жёсткость бруса.
Если при этом отлична от нуля и вторая производная
, томеняется кривизна бруса и возникает изгибающий момент
,где J1 - момент инерции сечения относительно центральной оси, лежащей в плоскости кривизны.
Найдём силовые факторы, связанные с поворотом х4. Если х4 постоянно, то происходит осесимметричный изгиб кольца, причём в его сечениях возникает изгибающий момент
.При переменном по длине повороте х4 соседние сечения поворачиваются друг относительно друга и возникает крутящий момент
.Суммируя силовые факторы, связанные с перемещениями х3 и х4, ,получаем
(256)Составим уравнение движения элемента Rd
бруса (рис.73).Будем пренебрегать инерцией поворота элемента вокруг своей оси.
Рис. 73
Условие динамического равновесия в направлении нормали к плоскости кольца приводит к уравнению:
. (257)Сумма моментов относительно нормали к оси элемента:
. (258)Сумма моментов относительно касательной к оси элемента:
. (259)Исключая поперечную силу из (257) и (258) и заменяя моменты в полученном уравнении и уравнении (259) их значениями (256), приходим к системе уравнений, в которую входят только перемещения х3 и х4:
(260)Ограничиваясь исследованием собственных колебаний замкнутого
кольца, решение уравнений (260) можно представить в виде
x3 =Acoskj×coswt , x4 = Bcoskj×coswt . (261)
Подставляя значения (261) в уравнение движения (260), получим
(262)Из равенства нулю определителя этой системы получим частотное уравнение, корни которого - собственные частоты - таковы:
(263)Наименьшая отличная от нуля частота соответствует k=2.