Маятник с колеблющейся точкой подвеса

Рассмотрим маятник (рис.61,а). Если точка подвеса неподвижна, то единственной силой, создающей момент относительно точки подвеса, является вес груза

.

 Уравнение малых колебаний маятника имеет вид

Если же точка подвеса колеблется вдоль оси y по закону

то при составлении уравнения моментов нужно учесть переносную силу инерции

 момент которой составляет , и тогда уравнение колебаний маятника запишется так:

или

                                          

                                    (160)

Рис. 61

Уравнение (160) можно привести к стандартному виду - уравнению Матье.

 Для этого положим:

Теперь из диаграммы Айнса-Стретта видно, что параметр а не зависит от амплитуды колебаний точки подвеса и сколь бы малой ни была амплитуда

, неустойчивость нижнего положения маятника наступает вблизи значений  т.е. при

Рассмотрим вопрос об устойчивости верхнего положения маятника (рис.61,б). При неподвижной опоре это положение, конечно, неустойчиво; однако вибрации основания могут придать ему устойчивость. Для получения уравнения движения в данном случае достаточно изменить знак перед членом, содержащим ускорение

 в уравнении (160); соответственно параметр  становится отрицательным:

Из рис.61,в видно, что верхнее положение маятника может быть устойчивым. При небольших амплитудах колебаний

 точки подвеса, когда , устойчивость верхнего положения достигается, если выполняется неравенство . Это условие устойчивости с учетом последней формулы принимает вид

Содержание раздела

---