При колебаниях системы по первой собственной форме наибольшие отклонения равны
и
; этим отклонениям соответствуют силы инерции
и
. Аналогично при колебаниях по второй собственной форме наибольшие отклонения составляют
и
и соответствующие силы инерции равны
и
.
Применим к этим двум состояниям теорему Бетти о взаимности виртуальных работ. Согласно этой теореме, работа сил первого состояния
на перемещениях второго состояния
равна работе сил второго состояния
на перемещениях первого состояния
, т.е.
,
или
.
Так как
, то должно выполняться равенство:
.
Это равенство выражает свойство ортогональности двух собственных форм колебаний. После деления на
условие ортогональности можно также записать в виде
.
Если известно отношение
, определяющее первую собственную форму, то из условия ортогональности можно найти отношение
, соответствующее второй собственной форме:
.
Обобщая всё сказанное выше, можно отметить, что для любой системы с n степенями свободы выполняется условие ортогональности любых двух собственных форм.
