Пластина, шарнирно опертая по противолежащим сторонам

Точное решение задачи об определении собственных частот и форм колебаний прямоугольной пластины может быть получено, если две противолежащие стороны пластины имеют шарнирное опирание. При этом закрепление двух других сторон может быть произвольным.

Пусть у прямоугольной пластины размерами (

- размер вдоль оси ;  - вдоль оси ) шарнирно оперты края  и .

Тогда выражение для амплитудных прогибов, удовлетворяющее условиям шарнирного опирания на этих краях, можно представить в виде

         

Подставляя это выражение в (318) и (319), устанавливаем, что функция

 должна удовлетворять одному из двух уравнений:

где

или

где

Решениями этих уравнений являются выражения

   Следовательно, общее выражение для  принимает вид

Это выражение должно удовлетворять граничным условиям при

 Если эти края пластины также шарнирно оперты, то должно быть

Из условий при

 находим

Условия при

 приводят к уравнениям

Приравнивая нулю определитель этой системы уравнений, получим частотное уравнение

которое выполняется при

Так как

, то

Тогда собственные частоты пластинки, шарнирно опертой по контуру, определяются формулой

               (320)

где

Низшая частота

 соответствует  т.е. колебаниям пластинки без узловых линий:

Форма колебаний определяется выражением

                                          (321)

Аналогичным образом проводится расчет и при других условиях закрепления границ

Содержание раздела

---