Применение метода Рэлея-Ритца к определению частот собственных колебаний пластинок

Метод Рэлея-Ритца позволяет расчетным путем приближенно определять частоты собственных колебаний пластинок переменной толщины и, в частности, дисков турбомашин. Преимуществом этого метода является также возможность легко учесть влияние на частоту различных побочных факторов, например начальных напряжений в срединной поверхности пластинки.

Потенциальная энергия деформации пластинки при ее изгибе по форме, определяемой функцией

, выражается двойным интегралом

   (333)

где

; интеграл берется по всей поверхности пластинки, причем для пластинки постоянной толщины, заделанной по контуру, интеграл от второго слагаемого выражения (333) обращается в нуль.

Обобщенная масса пластинки

                                    (334)

В соответствии с методом Рэлея-Ритца форма колебаний задается в виде ряда

                            (335)

где каждая из координатных функций

 удовлетворяет геометрическим граничным условиям.

Равенство нулю определителя системы уравнений

                     (336)

позволяет определить частоты собственных колебаний.

Если в (335) ограничиваются одним слагаемым, то частота определяется по формуле Рэлея

                                               (337)

Можно задаваться выражением для формы колебаний, в которое параметры

 входят нелинейно

В этом случае уравнения метода Рэлея-Ритца (336) оказываются нелинейными и проще исходить не из них, а из условий экстремума выражения (337), причем значения параметров, при которых достигается этот экстремум, находятся численными методами.

Рассмотрим в качестве примера заделанную по контуру прямоугольную пластинку постоянной толщины. Ограничиваясь одним слагаемым выражения (335), принимаем

.

Проводя вычисления по  (333) и (334), находим

Для частоты колебаний получаем

При

:

что на 3,3 % выше точного значения.

При расчете колебаний круглых пластин целесообразно использовать выражения энергии деформации и обобщенной массы в полярных координатах

         

где интегрирование выполняется по всей срединной поверхности пластинки.

При изучении колебаний осесимметричных пластин полагают



В этом случае интегрирование по  можно выполнить в общем виде и выражения для  и  представляются в форме



                                   (338)

                                             (339)

Для сплошной свободной пластинки вычисления упрощаются, если принять функцию  в виде



где  - параметр, определяемый из условия минимума формулы Рэлея (337).

Тогда  и  определяются формулами

         



Чтобы оценить погрешность метода, применим его для расчета частоты колебаний диска постоянной толщины при двух узловых диаметрах. В этом случае

;



Отсюда находим



Минимальное значение частоты при  



что дает ошибку порядка 5 %.


Содержание раздела

---