Разложение решения по собственным формам колебаний

Вновь рассмотрим простейшую систему, испытывающую действие возмущающих сил

 и .

Для вывода основных зависимостей рассматриваемого способа предварительно образуем вспомогательные соотношения исходя из уравнений (32). Эти уравнения удовлетворяются как решениями

                                     (126)

так и решениями

                                    (127)

Подставляя в уравнения (32) сначала решения (126), а затем решения (127), получим две группы вспомогательных соотношений, которые будут использованы в дальнейшем

                         (128)

                        (129)

   В дифференциальных уравнениях (122) неизвестными являются функции

 и . Основная идея рассматриваемого способа состоит в замене этих функций двумя новыми функциями   такими, что

                                          (130)

где

 и произвольные пока числа (можно, например, принять ), с которыми и связаны известными соотношениями (собственные формы колебаний). Подставляя (130) в  (122), получим систему дифференциальных уравнений относительно новых функций  и :

    (131)

Уравнения (131) можно существенно упростить. При помощи полученных выше вспомогательных соотношений (128) и (129) перепишем (131) в виде

           (132)

Дальнейшие упрощения вытекают из свойств ортогональности собственных форм колебаний. Умножим первое из уравнений (132) на

, а второе - на  и сложим их:

Согласно свойству ортогональности,

и из записанного уравнения выпадают функция

 и её вторая производная ; в результате получается дифференциальное уравнение, содержащее только функцию

                                  (133)

 Аналогично можно получить дифференциальное уравнение, содержащее только функцию

. Для этого нужно первое из уравнений (132) умножить на , второе - на  и полученные уравнения сложить. Используя затем то же свойство ортогональности, будем иметь

                                 (134)

Таким образом, способ разложения по собственным формам колебаний приводит к раздельным уравнениям (133) и (134), каждое из которых описывает колебания некоторой системы с одной степенью свободы.

Этот способ требует предварительного расчёта частот и форм собственных колебаний, после чего расчёт на вынужденные колебания становится сравнительно простым.

Будем считать, что известны как собственные частоты

 (число собственных частот равно , а не , так как одна частота равна нулю и соответствует повороту вала и дисков как жёсткого целого), так и соответствующие формы колебаний (т.е. отношения между амплитудами   первой собственной формы;  второй собственной формы и т.д.).

Системе уравнений (65), описывающих свободные колебания рассматриваемой системы, удовлетворяют функции, определяющие любое

 главное колебание:

                                      (143)

Подставляя (143) в систему уравнений (65), получим вспомогательные соотношения:

              (144)

Произведём замену переменных в системе уравнений (139), введя новые функции

, которые связаны с функциями  следующим образом:

                           (145)

Функция

, общая для всех уравнений системы (145), соответствует вращению системы как жёсткого целого, т.е. нулевой собственной форме колебаний. Коэффициенты первой строки  принимаются любыми (например, ), тогда значения остальных коэффициентов определяются соответствующими собственными формами.

Подставляя  (145) в систему уравнений (139), получим

Если учесть вспомогательные соотношения (144), то запись уравнений упрощается:

или после преобразований

   (146)

Эта система уравнений распадается на независимые уравнения, если, как и выше, воспользоваться свойством ортогональности. Сложим все уравнения (146). Тогда первые слагаемые правых частей дадут сумму:

а вторые слагаемые -

Эта сумма вторых слагаемых равна нулю, так как сумма в первой скобке обращается в нуль вследствие ортогональности первой и нулевой форм колебаний. Точно так же обращаются в нуль результаты суммирова­ния всех следующих слагаемых, входящих в правые части уравнений (146). Поэтому после сложения всех уравнений (146) получим

Интегрируя это уравнение, можно найти функцию f0.

Если обозначить правые части дифференциальных уравнений (133) и (134) соответственно через  и , где



то стационарная часть решения имеет вид



   Подставляя  и  в соотношения (130), получим решения для обобщённых координат  и :

  

Приведенные выше действия обеспечивают разделение уравнений при любом конечном числе степеней свободы системы.

Разложение решения по собственным формам колебаний при сохранении заданного вида периодических нагрузок

Основное преимущество рассмотренного выше способа - разделение уравнений - никак не связано с тем или иным конкретным видом возмущающих сил. Иначе говоря, разделение уравнений так же легко достигается в случае произвольно заданных возмущающих сил , , как и в рассмотренном случае гармонических возмущающих сил . Не повторяя выкладок, сразу приведём окончательные дифференциальные уравнения для общего случая



   Такие уравнения легко интегрируются при любом виде правых частей. Таким образом, способ разложения решения по собственным формам колебаний не требует предварительного разложения возмущающих сил на гармонические составляющие. Такое разложение является достаточно громоздкой операцией и, как правило, требует учёта большого числа гармоник. Эта операция оправдана только при решении задачи первым способом.



Затем, умножив первое из уравнений (146) на А11, второе - на А21, третье - на А31 и т.д., сложим все полученные уравнения. При этом первые слагаемые правых частей образуют произве­де­ние:



причем сумма, заключенная в скобки, равна нулю. Суммирование вторых слагаемых дает отличное от нуля выражение



При суммировании третьих слагаемых получим



Вследствие ортогональности первых двух форм колебаний сумма в первой скобке, а следовательно, и все это выражение равно нулю. Ана­ло­гич­но равна нулю сумма четвертых слагаемых, пятых и т.д.

Окончательно получим дифференциальное уравнение, содержащее только одну функцию f1



Аналогично можно получить дифференциальное уравнение для функции f2. Для этого нужно умножить первое из уравнений (146) на А12, второе - на А22, третье - на А32 и т.д. Последовательно применяя тот же прием, можно образовать отдельные уравнения для остальных неизвестных функций. Для i-й функции fi дифференциальное уравнение  имеет вид

                   (147)

Уравнения этого типа наиболее удобны, так как с их помощью задача о колебаниях системы с n степенями свободы заменяется n простыми задачами о колебаниях системы с одной степенью свободы. При практическом расчете крутильных колебаний валов существенными оказываются решения, соответствующие первым двум-трем собственным формам колебаний, а это означает, что достаточно решения двух-трех уравнений типа (147), когда i = 1,2,3.

При периодичности внешних возмущающих моментов правые части дифференциальных уравнений также будут периодическими функциями. Для дальнейшего решения обычно производят разложение каждого из возмущающих моментов в ряд Фурье, после этого анализируется влияние каждой гармоники, а затем выполняется сложение всех найденных результатов.

Хотя все эти выкладки выполняются достаточно просто, они должны быть повторены для всех важнейших гармонических составляющих возмущения, а число таких  гармоник достаточно велико. Следующий пример (табл. 6) дает представление об относительной важности различных гармоник возмущения в частном случае одного четырехтактного двигателя внутреннего сгорания.


Как видно, амплитуды гармоник убывают очень медленно, и в данном случае необходимо учесть в расчете не менее 13-15 гармоник. Еще раз подчеркнем, что разложение возмущающих моментов в ряд Фурье необязательно, если решение находится при помощи уравнения (147).

                                                                                                         Таблица 6

Номер составляющей	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Амплитуда составляющей	2,38	2,69	2,65	2,31	1,95	1,64	1,01	0,76	0,59	0,47

Ввиду того, что угловая скорость вращения может изменяться в процессе эксплуатации, частоты возмущения  непостоянны; вместе с изменением режима вращения изменяются и частоты возмущения. При этом становится реальной возможность совпадения частоты какой-либо гармоники возмущения с одной из собственных частот. В случае такого совпадения система оказывается в резонансном режиме и в расчет амплитуд колебаний следует ввести силы неупругого сопротивления.

Полное решение такой задачи даже в простейшем предположении вязких сил трения оказывается очень громоздким, поэтому практические расчеты производят приближенными способами. Основное упрощение состоит обычно в том, что форма колебаний при резонансе принимается совпадающей с соответствующей собственной формой, определенной без учета сил затухания.

Пусть, например, одна из гармоник возмущающей силы имеет частоту , равную i-й собственной частоте . Тогда в расчете колебаний учитывается только i-я собственная форма, и если имеет место вязкое трение, то вместо уравнения (147) получим



где - коэффициент затухания, зависящий от номера резонирующей гармоники; - приведенная амплитуда возмущающей силы.

Это уравнение по смыслу совпадает с уравнением (106). Согласно  (110), резонансная амплитуда в данном случае,



После вычисления резонансного значения  следует образовать резонансные значения амплитуд углов поворота. При помощи формул (145) получим, опуская в каждой строке как малые все слагаемые, кроме i-го:




Содержание раздела

---