Вернёмся к рассмотрению простейшей системы - с двумя степенями свободы (рис. 22,а), на примере которой проследим получение решения уравнений движения.
Будем искать решение уравнений (32) в виде
(40)
Функции (40) не являются общим решением уравнений (32), но позволяют его построить.
Подставляя (40) в (32), получим
или
(41)
Однородная система (41) имеет тривиальное решение
, которое означает отсутствие колебаний и интереса не представляет. Ненулевое решение система (41) имеет тогда и только тогда, когда определитель, составленный из коэффициентов при амплитудах колебаний
и
, равен нулю:
.
Этот определитель называется частотным, а раскрывая его, получим частотное, или вековое уравнение
. (42)
Это частотное уравнение всегда имеет два вещественных и положительных решения, т.е. система с двумя степенями свободы (рис. 22,а) имеет две собственные частоты:
(43)
Таким образом, колебательный процесс оказывается двухчастотным и определяется функциями
и
. Чтобы отразить в общем решении обе гармоники, усложним индексацию и запишем решение (40) несколько в ином виде
(44)
где у амплитуды
индекс i означает номер координаты, а индекс j - номер частоты.
Установим связь между амплитудами
и
, используя любое из двух уравнений (41), например, первое:
. (45)
Подставим в (45) первую собственную частоту
и перейдём к двухиндексному обозначению амплитуд (см. выше), тогда получим независящее от начальных условий отношение амплитуд первой гармоники:
. (46)
Аналогично из того же соотношения (45) при
получим для
второй гармоники:
. (47)
Следовательно, решение (44) с учётом (46) и (47) можно переписать в виде
(48)
В (48) собственные частоты
и
и отношения
и
зависят только от параметров колебательной системы.
Величины
можно определить из четырёх началь ных условий, выражающих значения смещений и скоростей обеих масс в начальный момент времени.
Пусть, например, при
:
;
;
;
,
т.е. движение системы вызвано мгновенным ударом по второй массе.
Из (48) получим
Отсюда находим
Величины
и
можно вычислить по (43), (46) и (47).
Искусственным подбором начальных условий можно добиться одночастотности колебаний. Например, если сделать так, чтобы
, то колебания будут описываться одной гармоникой:
Коэффициент
не зависит от начальных условий, поэтому рассматриваемые одночастотные колебания характеризуются вполне определённым, зависящим только от параметров системы, отношением амплитуд, которое остаётся неизменным в процессе колебаний. Это отношение определяет первую собственную форму колебаний.
Если начальные условия таковы, что
, то колебания будут также одночастотными, но с частотой
