Теорема и метод Рэлея
Согласно этой теореме, истинное значение низшей собственной частоты всегда меньше, чем приближенное значение частоты, вычисленное энергетическим способом. Докажем эту теорему для изгибных колебаний, совершенно аналогично она доказывается и для других видов колебаний.
Положим, что при решении энергетическим способом задачи о свободных изгибных колебаниях была принята форма колебаний f = f(x). Тогда соответствующая статическая нагрузка, способная вызвать изгиб по кривой f(х), может быть представлена в виде
Следовательно, приближенное выражение для квадрата частоты
Ввиду известного произвола в выборе функции f(x) она не совпадает ни с одной из собственных форм, которые являются точными решениями; однако функцию f(x) можно представить в виде ряда по этим формам. Если ищут низшую собственную частоту, то функцию f(x) можно представить так:
f(x) = X1(x)+ b2X2(x)+b3X3(x) +... (265)
При удачном выборе функция f(x) близка к Х1(х), поэтому коэффициенты b2 , b3 ... - малые числа .
Два раза продифференцируем выражение (265) по х, затем умножим обе части на жёсткость EJ и вновь дважды продифференцируем результат. Тогда получим
Согласно основному уравнению (243), можно записать:
Подставляя эти значения в выражение (266), получим
При помощи (265) и (267) образуем числитель формулы (264):
Вследствие ортогональности собственных форм все интегралы от произведений, где индексы сомножителей различны, равны нулю, поэтому
Знаменатель формулы (264) получим при помощи (265) в виде
Здесь также исчезают все члены, содержащие произведения Xm Xn. Подставляя (268) и (269) в (264), получим квадрат низшей частоты
Так как w1<w2<w3<...,то все дроби
w2>
что и утверждается теоремой Рэлея.
Неравенство (271) справедливо не только для изгибных, но и для продольных и крутильных колебаний.
