Теория колебаний оболочек без растяжения срединной поверхности

На основе описанной выше теории рассмотрим колебания цилиндрической оболочки (рис.75). Определим положение произвольной точки

 на срединной поверхности оболочки координатами  и .

Рис.75

Компоненты перемещения точки в продольном, окружном и нормальном к поверхности направлениях обозначим соответственно

. Компоненты деформации срединной поверхности определяются формулами

           (344)

Приравняв

 и  нулю и проинтегрировав полученные уравнения, выразим  через две произвольные функции угловой координаты

           (345)

Из полученных формул видно, что при деформации цилиндрической оболочки без растяжения срединной поверхности образующие остаются прямыми, а осевые перемещения не зависят от продольной координаты.

Формулы показывают, что чистые изгибания замкнутой цилиндрической оболочки возможны в следующих случаях: а) если ее торцы свободны; в этом случае отличны от нуля

 и ; б) если на одном из торцов запрещены перемещения , но разрешено перемещение ; в) если на одном из торцов запрещено перемещение . Если же оболочка оперта на обоих торцах, чистое изгибание ее невозможно.

Составим выражения потенциальной и кинетической энергии оболочки, совершающей гармонические колебания с частотой

. В общем выражении потенциальной энергии деформации сохраняется только слагаемое . Входящие в него параметры изменения кривизны определяются формулами

После подстановки этих значений в выражение

 (341) и интегрирования по  с учетом того, что , находим

                            (346)

где

Интегралы в выражениях

 вычисляются по всей длине оболочки.

Из основного уравнения метода Рэлея-Ритца следует, что выражение

 (где  - частота собственных колебаний) должно иметь стационарное значение:

Отсюда следует система обыкновенных дифференциальных уравнений для функции

,. В этом случае, если форма всех меридиональных сечений одинакова (толщина оболочки не зависит от ), коэффициенты  постоянны и уравнения получают такой вид:

         

               (347)

.  (348)

Решение этих дифференциальных уравнений для открытых оболочек должно быть подчинено граничным условиям на продольных кромках.
На этих кромках могут быть заданы перемещения

 (постоянные вдоль каждой кромки), а также перемещения  и угол поворота



в двух различных сечениях по длине оболочки. Всего имеется семь кинематических граничных условий на каждой продольной кромке, что соответствует четырнадцатому порядку уравнений (347)-(348). Если закрепления отсутствуют, то кинематические граничные условия заменяются естественными граничными условиями.

Если оболочка симметрична относительно поперечного сечения  (рис.76,а), то  и функции , определяются независимыми дифференциальными уравнениями

         (349)

Функция  описывает в этом случае кососимметричные относительно сечения  формы колебаний, а функция  - симметричные. Уравнение, определяющее функцию , совпадает с уравнением колебаний кольца в своей плоскости.



Рис.76

Для замкнутой оболочки граничные условия заменяются условиями периодичности, которым удовлетворяют функции , . В случае симметричной оболочки подстановка этих выражений в уравнения (349) приводит к следующим значениям частот для

кососимметричных колебаний:



и для симметричных колебаний:

.

Для оболочки постоянной толщины  и длины  (рис.76,б):



В этом случае





Как видно из полученных формул, при колебаниях оболочек без растяжения срединной поверхности частоты определяются зависимостями такого же типа, как и для пластинок



где  - цилиндрическая жесткость;  - числовой коэффициент. При стремлении толщины оболочки к нулю частота ее колебаний без растяжения срединной поверхности также стремится к нулю.




Содержание раздела

---