Уравнение движения пластины постоянной толщины

Расположим оси

 и  в срединной плоскости пластины, ось  направим по нормали к этой плоскости. Дифференциальное уравнение статического изгиба пластины постоянной толщины  при малых перемещениях имеет вид

где

 - бигармонический оператор;

 - прогиб;

 - цилиндрическая жесткость;

 - интенсивность нормальной нагрузки.

Добавляя к внешней нагрузке интенсивность сил инерции,

                                             

                                                     (313)

где

 - плотность материала, получим уравнение движения

         

                           (314)

При свободных колебаниях нагрузка

, и решение уравнения (314) ищется в виде

         

                                             (315)

Подставляя (315) в однородное уравнение, соответствующее (314), получим для амплитудной функции

 уравнение в частных производных

                

                                            (316)

где                          

Уравнение (316) может быть представлено так:

откуда следует, что решениями (316) являются, в частности, решения более простых уравнений:

         

                                                  (317)

            или               

Из бесчисленного множества решений уравнения (316) должны быть отобраны те, которые соответствуют условиям закрепления краев пластинки. Эти условия будут такими же, как и при статическом изгибе: на жестко защемленном краю

         

на шарнирно опертом краю

         

на свободном краю

         

где

 и  - амплитудный изгибающий момент и приведенная поперечная сила на контуре.

Если пластина отнесена к декартовой системе координат

 то  и  определяются формулами

?

где

 - угол, образуемый внешней нормалью к контуру с осью х;  - радиус кривизны контура.

Содержание раздела

---