Влияние трения на свободные колебания системы с n степенями свободы

Дифференциальные уравнения движения изменятся, если учесть, что при колебаниях возни­кают силы трения. Рассмотрим случай, когда силы трения линейно зависят от скоростей точек системы (вязкое трение).

           Дифференциальные уравнения (31) в этом случае принимают вид

                   (55)

или в матричной форме

,

где

   -                                         (56)

матрица демпфирования.

Решение уравнений (55) будем искать в виде

  

                  .                                (57)

После подстановки (57) в (55) получим однородную систему алгебраических уравнений отно­сительно амплитуд колебаний

, которая в матричной форме выглядит так:

.                                         (58)

Ненулевое решение системы (58) возможно тогда и только тогда, когда её определитель равен нулю, что приводит к частотному уравнению

.                                       (59)

Если все элементы матрицы демпфирования (56) неотрицательные, то вещественные части всех корней характеристического уравнения - отрицательные. При этом среди корней уравнения (59) могут оказаться отрицательные вещественные корни, каждому из которых, согласно (57), со­ответствует монотонное затухающее движение неколебательного характера. Наряду с этим, среди корней могут оказаться и комплексные сопряжённые корни вида

; . Им соответствует затухающее колебательное движение, описываемое вы­ражением

.

Общее решение задачи получится как результат наложения всех частных решений.

Содержание раздела

---